Géométrie
ACTIVITES
A1. Pythagore et sa réciproque.
A11. Hauteur d'une maison.
Gérard doit déterminer la hauteur de sa maison.
Il utilise un télémètre et le place à une distance.
OH = 4 m de la maison.
Il pointe le haut de la maison et mesure : $OA = 7,9 m$.
Il pointe le pied de la maison et mesure : $OB = 4,2 m$.
$\bullet$ Déterminer la valeur de la longueur $AH$.
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$\bullet$ Déterminer la valeur de la longueur $BH$.
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$\bullet$ En déduire la hauteur $AB$ de la maison.
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A12. Dans le coin ?
Gérard souhaite réaliser un meuble à placer dans le coin du salon. Les cotes (en cm) sont données ci-contre. Jean-Pierre lui dit : "ton meuble ne rentrera pas dans le coin de la pièce, revoie tes cotes !" |
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$\bullet$ Montrer que Jean-Pierre a raison.
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$\bullet$ Gérard choisit alors de conserver les cotes 170 et 128. Quelle doit-être la valeur de la troisième cote ?
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$\bullet$ Déterminer la surface de bois nécessaire pour la réalisation des trois étagères.
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Papier/Crayon :
$\bullet$ Reproduire le triangle à l'échelle 1/20e. Tracer la hauteur issue du sommet à l'angle droit.
$\bullet$ Déterminer sa mesure.
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$\bullet$ Calculer la surface de bois, d'une autre manière que celle utilisée précédemment.
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En utilisant Geogebra :
$\bullet$ Reproduire le triangle. Tracer la hauteur issue du sommet à l'angle droit.
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$\bullet$ Calculer la surface de bois, d'une autre manière que celle utilisée précédemment.
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$\bullet$ Vérifier ainsi les résultats précédents.
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A2. Le théorème de Thalès.
A11. Hauteur d'une maison.
Gérard souhaite maintenant vérifier la hauteur de sa maison calculée précédemment.
Il utilise l'ombre de la maison comme indiqué sur la figure ci-contre, il se place dans le jardin, de telle sorte que son ombre et celle de la maison coïncident exactement.
Sa taille est de 1,70 m.
$\bullet$ Que peut-on dire des positions relatives de la maison et de Gérard par rapport au sol ?
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$\bullet$ En déduire la position relative de Gérard par rapport à la maison.
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$\bullet$ Reproduire la situation à l'échelle 1/20e.
$\bullet$ Déterminer alors la hauteur de la maison.
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A12. Réglage des phares.
A12a. Chez Gérard.
Gérard envisage de régler les phares de sa voiture pour obtenir une de 30 m.
Les phares sont à une hauteur $OP = 60 \ cm$ du sol.
Il place la voiture de sorte que les phares soient à la distance $OB = 1,50 \ m$ du mur.
$\bullet$ Que peut-on dire des positions relatives des droites $(AB)$ et $(OP)$ ?
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$\bullet$ Quelle doit être la valeur de la distance $AB$ pour que la portée soit correcte ?
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A12b. Chez Robert.
Robert demande à Gérard de venir vérifier si le mur de son jardin est "droit".
A sa grande surprise, Gérard place sa voiture à $OB = 1,50 \ m$ du mur, allume les phares.
Cette fois, il mesure la hauteur $AB = 50 \ cm$.
Il place la voiture de sorte que les phares soient à la distance $OB = 1,50 \ m$ du mur.
Expliquer.
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A3. Aires et périmètres.
A31. En utilisant le formulaire.
Gérard souhaite décorer l'intérieur de son salon en reproduisant le visage de son ami Robert sur un mur blanc.
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La figure ci-contre est à l'échelle. La distance sol/plafond est de 2,40 m. Chaque figure est entourée d'une bande bleue d'une largeur de 5 cm. Il n'utilisera que des colorants jaune, rouge, vert, turquoise et bleu ajoutés dans la peinture blanche. Sur les boites de colorants, il est indiqué : $5 \ mL \ / \ m^2$.
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$\bullet$ Déterminer l'échelle de la figure.
$\bullet$ Pour chaque couleur utilisée, déterminer:
- La surface de peinture utilisée.
- La quantité de colorant à ajouter.
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A32. Vérifier les valeurs des surfaces et périmètre à l'aide de Geogebra.
A4. Aires et volumes.
A41. En utilisant le formulaire.
Gérard réalise lui-même sa table de salon.
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Le plateau est constitué d'une plaque en bois de chêne d'une épaisseur de $6 \ cm$. Les pieds, en bois de hêtre ont un rayon de $5 \ cm$. La masse volumique du chêne est $\rho \ = \ 0,85 \ g/cm^3$. Il finalisera son travail en recouvrant l'ensemble de trois couches d'un vernis, vendu en pots de $0,75 \ L$ sur lesquels figure l'indication $\pm \ 9 \ m^2$. |
$\bullet$ Déterminer le volume total de la table.
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$\bullet$ En déduire la masse totale de la table.
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$\bullet$ Déterminer la surface totale à recouvrir.
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$\bullet$ En déduire le nombre de pots de vernis à acheter.
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A42. En utilisant Geogebra.
Retrouver les valeurs des volumes et des aires calculées.
COURS
C1. Le théorème de Pythagore.
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Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. $AB^2 \ + \ AC^2 \ = BC^2$ |
Réciproquement :
Dans un triangle $(ABC)$, si la somme des carrés des longueurs deux côtés est égale au carré de la longueur du troisième côté, alors, $(ABC)$ est un triangle rectangle dont le plus grand côté est l'hypoténuse.
C2. Le théorème de Thalès.
On considère deux droites sécantes en un point $O$. Ces deux droites sont coupées par deux droites parallèles $(AB)$ et $(A'B')$. Alors : $\dfrac{OA}{OA'} \ = \ \dfrac{OB}{OB'} \ = \ \dfrac{AB}{A'B'}$ |
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Réciproquement
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On considère un triangle $(OAB)$, et une droite coupant deux côtés en $A'$ et $B'$. Si : $\dfrac{OA}{OA'} \ = \ \dfrac{OB}{OB'}$ Alors : Les droites $(A'B')$ et $(AB)$ sont parallèles. |
C3. Périmètres et surfaces dans le plan.
Le carré.
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Le rectangle. ![]() $\mathscr {P} \ = \ 2 \times \left ( L + \ell \right)$ $\mathscr {A} \ = \ L \times \ell $ |
Le triangle. ![]() $\mathscr {P} \ = AB \ + \ AC \ + \ BC$ $\mathscr {A} \ = \dfrac{AB \times \mathscr h}{2}$ |
Le cercle. ![]() $\mathscr {P} \ = \ 2 \times \pi \times R$ $\mathscr {A} \ = \ \pi \times R^{ \ 2 }$ |
C4. Surfaces et volumes dans l'espace.
Le cube
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Le pavé ![]() $\mathscr {S} \ = \ 2 \times \left ( L \times \ell \ + h \times \ell + L \times h \right )$ $\mathscr {V} \ = \ L \times \ell \times h$ |
Le cylindre. ![]() $\mathscr {S} \ = \ 2 \times \pi \times R \times \left ( R+ h \right )$ $\mathscr {V} \ = \pi \times R^{ \ 2} \times h$ |
La sphère. ![]() $\mathscr {S} \ = \ 4 \times \pi \times R^{ \ 2}$ $\mathscr {V} \ = \ \dfrac{ 4 \times \pi \times R^{ \ 3 }}{3}$ |
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