Kepler

ACTIVITES

A1 Lois de Kepler.

A11 Trajectoire de Mercure.

Au milieu d’une feuille de format A4 une ligne x’x dans le sens de la longueur et placer S (le Soleil) à 15 cm du bord droit (voir ci-contre). Les positions successives de Mercure (point M) sont reportées grâce aux valeurs figurant dans le tableau ci-contre, avec :

r = SM distance entre Soleil et Mercure en unité astronomique U.A. (1 U.A = 150.10⁶ km).

Teta1 longitude écliptique héliocentrique S de Mercure.

Échelle à utiliser : 15 cm pour 1 U.A.

On trace ensuite soigneusement la trajectoire par continuité (le tracé se fait à main levée).

"Positions et vitesses de Mercure"

Indice	Date	Angle θ	Distance r (U.A)	Vitesse v (km.s^-1)
1	20/07/1995	0	0,3075	58,9
2	25/07/1995	31	0,315	57,8
3	30/07/1995	60	0,336	54,6
4	04/08/1995	85	0,363	50,9
5	09/08/1995	106	0,392	47,3
6	14/08/1995	124	0,418	44,2
7	19/081995	140	0,440	41,7
8	24/081995	155	0,455	40,1
9	29/08/1995	169	0,464	39,1
10	03/09/1995	183	0,467	38,8
11	08/09/1995	197	0,462	39,3
12	13/09/1995	211	0,450	40,6
13	18/09/1995	227	0,432	42,6
14	23/09/1995	244	0,408	45,4
15	28/09/1995	263	0,381	48,6
16	03/10/1995	286	0,352	52,4
17	08/10/1995	312	0,326	56,1
18	13/10/1995	342	0,310	58,6
19	18/10/1995	13	0,31	58,7

A12. 1^ère loi : nature de la trajectoire.

A121. Donner la définition d'une ellipse.

A122. Montrer par le calcul que la trajectoire de Mercure est une ellipse dont S est un des foyers.

Pour cela, suivre les instructions suivantes :

La position la plus proche du Soleil est le périhélie P.
On trace la droite (PS) qui coupe la trajectoire en un deuxième point : l'aphélie A (position la plus éloignée).
On mesure a, longueur du demi-grand axe (PA = 2a).
Soit O, le milieu de [PA] et S', le symétrique de S par rapport O. Vérifier que pour tout point M, on a : SM + S'M = 2a.

A13. 2^ème loi : loi des aires.

A131. Découper deux aires A₁ et A₂ balayées pendant les intervalles de temps t₄ à t₅ et t₉ à t₁₀.

A132. Comparer les durées t₅ - t₄ et t₁₀ - t₉.

A133. Evaluer les aires A₁ et A₂. Comparer.

A134. Enoncer la 2^ème loi de Kepler.

A14. 3^ème loi : Relation entre la période et le 1/2 grand-axe.

A141. Déterminer la période révolution de Mercure autour du Soleil.

Pour cela, il faudra trouver exactement le nombre de jours entre les points 18 et 19 et évaluer, en utilisant des mesures d'angle de secteurs, la durée nécessaire pour "finir" la révolution.

On exprimera cette période en année terrestre.

A142. Calculer le rapport a³/T² (exprimé en U.A³.an^-2).

A143. Calculer le même rapport pour la Terre.

A144. En déduire la 3^ème loi de Kepler.

A2 Satellites des planètes géantes.

Document 1 : 3^ème loi de Kepler

G = 6,674.10^-11 m³.kg^-1.s^-2

Document 2 : planètes géantes gazeuses et satellites

	Distance au Soleil (U.A)	Période de révolution (an)	Rayon (km)	Nombre de satellites
Jupiter	5,2	11,86	71492	67
Saturne	9,5	29,5	60268	50
Uranus	19,2	84,3	25559	27
Neptune	30,4	164,8	24764	14

Document 3 : vitesse orbitale

Orbite elliptique :

r : distance entre la planète et le satellite à un instant donné

Orbite circulaire :

Dans ce cas, r = a

Ouvrir : http://www.jf-noblet.fr/planetes/index.htm

Choisir « satellites de Jupiter » ou « satellites de Saturne » ou « satellites d’Uranus » ou « satellites de Neptune » où l’on pourra voir les mouvements des satellites et récupérer des données pour les transférer dans regressi, Excel ou Geogebra.

A21. Satellites de Jupiter.

Réaliser :

A211. Enregistrer les données des trajectoires pour chaque satellite pour au moins deux révolutions.

A212. Copier les données dans un tableau Excel.

A213. Transformer les points en virgules :

- "CRTL A"

- "Rechercher et sélectionner"

- "Remplacer"

- Dans rechercher, écrire un point.

- Dans remplacer, écrire une virgule.

- Cliquer sur "Remplacer tout".

A214. Coller les données dans un tableau Geogebra.

A215. Dans la colonne D, placer les points : " = (B3,C3)" , puis "tirer" jusqu'en bas des données.

A216. Dans la colonne E, placer les points "= (1000*A3, B3)", puis "tirer" jusqu'en bas des données.

A217. Ajuster l'échelle de la zone graphique de sorte que :

- Le repère soit orthonormé.

- Tous les points apparaissent.

A218. Dans la ligne de "saisie", entrer la commande suivante : "fitsin(E3:E229)".

Analyser :

A219. Que représentent les points de la colonne D ?

A220. Que représentent les points de la colonne E ?

A221. Que représente la courbe tracée à l'aide la saisie réalisée ?

S'approprier :

A222. La période d'une fonction sinusoïdale Fct sin étant donnée par la relation : Periode pulsation , déterminer la période de révolution du satellite (en n'oubliant pas qu'on a multiplié le temps par 1000 pour la représentation graphique).

A223. Vérifier que la trajectoire est circulaire, déterminer son rayon et comparer avec la valeur théorique.

A224. Vérifier la 3^ème loi de Kepler.

A225. Retrouver la valeur de la masse de Jupiter.

A225. Déterminer la valeur de la vitesse de rotation du satellite autour de Jupiter par un calcul simple, puis retrouver cette valeur en utilisant les données du tableau.

A226. Vérifier que dans les deux cas, la valeur obtenue est proche de la valeur théorique (doc3).

A22. Tarvos : satellite de Saturne à orbite elliptique.

A221. Observer une révolution complète du satellite en notant sa vitesse et le rayon de la trajectoire à l’aphélie et au périhélie. Noter également comment varient v et r simultanément.

A222. Récupérer les données d’une trajectoire complète et tracer ensuite y = f(x). Veiller à ce que l’échelle soit identique sur les 2 axes puis copier dans Word et imprimer.

A223. Faire calculer la vitesse et le rayon de la trajectoire pour chaque point de la trajectoire ainsi que la vitesse théorique pour chaque point. Comparer avec les réponses A221.

A224. Sur le graphique imprimé de la trajectoire, indiquer le centre de l’ellipse, les deux foyers de l’ellipse et la position de la planète. Par des mesures à la règle sur ce graphe, retrouver la valeur de l’excentricité de l’orbite du satellite sachant que l’excentricité s’exprime de la façon suivante : e = c/a (avec c : distance entre le centre de l’ellipse et un foyer).

A225. Faire une construction sur le graphe pour vérifier la 2^e loi de Kepler et sa signification.

A226. Ce satellite a une orbite inclinée par rapport au plan de rotation de la planète. Vérifier s’il obéit malgré tout à la 3^eme loi de Kepler.

COURS

C1 Lois de Kepler : mouvement des satellites et des planètes.

Johannes Kepler (1571 – 1630) formule trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil en s'inspirant de ses études sur la musique.

C10 Introduction.

Une ellipse est une courbe caractérisée par :

Ses foyers F et F', symétriques l'un de l'autre par rapport au point O, centre de l'ellipse.
Quel que soit le point M de cette ellipse, on a : MF + MF' = 2a.

Où a représente la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.

C10

Remarque : Le cercle est une ellipse particulière pour laquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et le demi-petit axe on la même valeur a = b = R, rayon du cercle.

L'orbite d'une planète est la trajectoire de son centre d'inertie dans le référentiel héliocentrique.

C11 Première loi de Kepler.

Toutes les orbites de planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Kepler bis

Remarque : les planètes ne tournent pas autour du Soleil avec une vitesse constante. Quand elles se rapprochent du Soleil, leur vitesse est plus grande.

C12 Deuxième loi de Kepler.

Pendant des intervalles de temps égaux Δt,

le rayon balaye des surfaces S égales de l'ellipse.

Pour un même intervalle de temps Δt, A₁= A₂ =A₃

C13 Troisième loi de Kepler.

Soit T la période de révolution de la planète autour de l'astre attracteur, et a la longueur du demi-grand axe de l'ellipse.

Le rapport du carré de la période au cube du demi-grand axe est constant.

La période ne dépend que de la masse du M_s du centre attracteur et de la constante de gravitation universelle G :

G = 6,67.10^-11 N.kg^-2.m² : constante de gravitation universelle.

M_s= 1,96.10³⁰ kg : masse du Soleil.

Dans le cas particulier d'un mouvement circulaire, a = R (rayon de l'orbite circulaire), la période vaut :

C2 Etude mécanique avec la seconde loi de Newton et corrélation avec les Lois de Kepler .

Dans cette partie, nous allons vérifier qu'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre a une vitesse constante (son mouvement est circulaire uniforme).

Le système étudié est le satellite de masse m, et de centre d'inertie S.
Le référentiel d'étude est le référentiel géocentrique supposé galiléen.
Le repère d'étude est le repère de Frenet dont l'origine P du repère est confondue avec le centre d'inertie de la Terre :

Dans ce cas, la seconde loi de Newton s'écrit : Dp sur dt 1

La somme des forces extérieures se réduit à la force d'attraction gravitationnelle terrestre sur le satellite (on néglige les forces d'attraction gravitationnelle des autres astres) : Ft sur s .